Question

若f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1)?为什么不是f(-x-1)?

Answer 1

令g（x）=f（x+1）
那么f（x+1）是偶函数，说明g（x）是偶函数
而g（x）是偶函数，说明g（-x）=g（x）
而g（-x）=f（-x+1）
所以是f（-x+1）=f（x+1）

至于f（-x-1）=f（x+1）
当x=1的时候，得到f（-2）=f（2）
当x=3的时候，f（-4）=f（4）
等等可知，完全就是f（-x）=f（x）的结果，这说明f（-x-1）=f（x+1），得到的是f（x）是偶函数。

追问

懂了，但究竟是为什么呢？如果不通过换元而解释它的原理呢？

追答

注意，奇函数和偶函数，都是自变量变成相反数。
而自变量只能是一个字母表示的变量，如t，u，x等
绝对不能是一个式子表示的东西，如x+1，x²，这些都不能视为自变量。
所以f（x+1）的自变量是x，而不能是x+1，那么变成相反数的当然就只能是自变量x，而不能是x+1了。