Question

求函数u=xyz在附加条件1x+1y+1z＝1a（x＞0，y＞0，z＞0，a＞0）下的极值，我

求函数u=xyz在附加条件1x+1y+1z＝1a（x＞0，y＞0，z＞0，a＞0）下的极值，我想要问的是，在证明求出来的驻点确实是一个极值点时，用到了二元函数极值的判断也就是AC-B^2,我想问问计算的具体过程

Answer 1

令L（x，y，λ）=x2+y2+1+λ（x+y-3）得方程组L′x＝2x+λ＝0L′y＝2y+λ＝0L′λ＝x+y?3＝0解之得：x＝y＝32，由题意知：当x＝y＝32时，z可能取到极值112．再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x2+（x-3）2+1，F′（32）=0，且F″(32)＞0，故函数z取得极小值为z（32，32）=112．

Answer 2

利用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值．
f(x，y，z；λ)＝lnx+lny+lnz?λ(
1
x
+
1
y
+
1
z
?
1
a
)
fx＝
1
x
+λ
1
x2
＝0，fy＝
1
y
+λ
1
y2
＝0，fz＝
1
z
+λ
1
z2
＝0
λ＝?3a，x＝y＝z＝3a
极小值为27a3.
．
（3a，3a，3a）是函数u=xyz在附加条件下的唯一可能极值点．
把附加条件确定的隐函数记为z=z（x，y），将目标函数看做u=xyz（x，y）=f（x，y），再应用二元函数极值的充分条件判断，可知点（3a，3a，3a）是极小值点．
故答案为：极小值为u（3a，3a，3a）=27a3．