Question

求 u=xyz在约束条件1/x+1/y+1/z=1/a （x,y,z,a都大于1）下的极值

Answer 1

如图：

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。

Answer 2

因为 x,y,z,a都大于1，所以 将 1/x+1/y+1/z=1/a, 两把同乘以u 得 yz+xz+xy=u/a,所以u=a(yz+xz+xy), 又因为x,y,z,a都大于1，所以 yz>1,xz>1,xy>1.即 yz+xz+xy>1 ,所以u>a.即原题u 有最小值a。
望采纳，谢谢

追问

极值。。不是最值

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

均值不等式：
(1/x+1/y+1/z)/3>=(1/xyz)^(1/3)
得到xyz的最小值为27a^3，当x=y=z=3a时取得。
xyz无在最大值

追问

极值。。不是最值

追答

这里xyz都大于1，对于每个变量都是单增，极值只有一个，就是最小值

追问

这题不是应该用拉格朗日法来求吗？极值不是一阶导数为0的点所取得的值吗

追答

当然可以，前面好像有人给了，我给的只是一个初等解法而已。

Answer 5