Question

复变函数，这道题怎么做，求过程

复变函数，这道题怎么做，求过程感谢

Answer 1

直接利用留数定理不就好了
f(z)=ze^(1/z)/(1-z)在|z|=2内有奇点z=1和z=0,但z=0是本性奇点,直接计算留数不方便,所以可以计算无穷远点的留数.
在|z|=2外f(z)只有∞一个奇点,利用公式Res[f(z),∞]=-Res[f(1/z)/z²,0],再利用包含无穷远点的留数定理可知,I=Res[f(1/z)/z²,0]
f(1/z)/z²=[1/z*e^z/(1-1/z)]*1/z²=e^z/z²(z-1)
而0是它的二阶极点,利用二阶极点的留数公式,
Res[f(1/z)/z²,0]=1/(2-1)!*lim(z→0)[z²*e^z/z²(z-1)]'
=lim(z→0)[(z-1)e^z-e^z]/(z-1)²
=-2
所以I=-2

Answer 2

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