Question

一个线性代数问题

x1=(1,i,0)的内积是多少？
是不是1+i²=1-1=0？

可是这道题原来是求正交化
x1=(1,i,0)^T，x2=(1,0,i)^T，y1=x1
为什么
(x2,y1)/(y1,y1)=1/2

Answer 1

【分析】
AAT为实对称矩阵，因为（AAT）T = AAT
如果 AAT为正定矩阵，那么 |AAT| ＞ 0

【解答】
AAT为 n×n阶矩阵
1、若r（A）=r ＜min（n，m）
r（AAT）≤r（A）＜min（n，m）≤n， 所以|AAT| = 0

2、若n＞m，r（A）=m，r(AAT)≤r（A）=m＜n ，所以|AAT| = 0

3、若n＜m，r（A）=n，对于齐次线性方程组ATx=0 ，r（AT）=n，只有零解。
任意的x≠0，ATx ≠ 0，则 xT(AAT)x =（ATx)T ATx ＞ 0
所以AAT正定，所以|AAT|＞0

综上所述，|AAT|≥0