Question

被11整除数的特征如何证明

Answer 1

能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=12
23-12=11
因此,491678能被11整除.
这种方法叫"奇偶位差法".
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33,
33能被11整除,583也一定能被11整除.
证明就只有出题例,如果你想知道是谁得出来的这个结论,那你还是去问创始人去吧....

Answer 2

考虑一个数与11相乘
令x=abcde*11
分析x的特征
abcde
*
11
......(1)
=
abcde
abcde
=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e
若各位相加都没进位
则奇数位和-偶数位和=0
若只有d+e有进位
a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e
很明显此时
奇数位和-偶数位和=11
若只有c+d有进位
a(a+b)(b+c+1)(c+d-10)(d+e)e
很明显此时
奇数位和-偶数位和=-11
继续推下去可知
对于1式的乘法，当奇数位有进位而与他相邻的高位没有进位时
此时
奇数位和-偶数位和=-11
当偶数位有进位而与他相邻的高位没有进位时
此时
乘积结果的奇数位和-偶数位和=11
若奇数位和偶数数都有进位，那么所得乘积结果的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)就取决于是奇数位和(乘法相加时)进位的多还是偶数位和进位的多
也就是说能被11整除的数总有这么一个特征，他的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍，或者是0，也就是能被11整除
反过来，1个具备这样特征的数(目标数)是否一定能被11整除，下面给予证明
要通过一个目标数找到原数(目标数/11)
假设目标数为abcde
若奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍或0
比较原数的某位与目标数的邻高位
很明显原数的最低位一定是目标数的最低位
比如
9856
，
原数一定是***6
先比较5和6
对于最低位，若次低位(目标数)>最低位(原数)
则可知原数次低位是目标数次低位-最低位(原数)
若次低位<最低位
则可知原数次低位是目标数次低位+10-最低位(原数)
然后比较原数的次次低位与目标数次低位
这样依次下去，就会找到原数
也就是说满足这样一个条件的数，经过一定步骤的运算，就能找到它被11除的数
因此，奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0)就可以推出这个数能被11整除.
写的很罗嗦，希望你能看懂

Answer 3

首先很感谢lca001的答案,比较正式!
我的方法是推理法,也就是野方法.
假设一个数为an...a0,乘以11,也就是错位相加,即
an...a1a0
+
an...a1a0
如果没有涉及到进位,则加出来的数互相隔位相减,得到
an-(an+an-1)+an-2+an-1+...=0,也就是说,如果没有进位的话,相减得0
现在来讨论有进位的情况
ak...
akak-1..
此时,ak+ak-1=10+n,于是在这个位上的数是n,多出的10进位为1,也就是说,在这个位上少了10,并且还给上位多提供了一个1,于是里外里少了11!所以两个位数的差仍为11的倍数,无论有多少种进位的情况,因为一个进位,就产生了11的差距.
这个土方法证明了,和11相乘的数,隔位相减之和仍为11的倍数.和隔位相减之和能被11整除不完全一样,所以我认为lca001的方法更贴切和正式