Question

能被11整除的数的证明方法

我知道能被11整除的数的特征，但是不知道是如何证明的，请高手指点，详细点最好！

Answer 1

能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11
因此,491678能被11整除.
这种方法叫"奇偶位差法".

具体原因，可以通过这个例子来说明：
比如65312这个数字，可以写成：
65,321 = 6(10^4) + 5(10^3)+3(10^2) + 2(10)+1.
^4表示10的四次方

那么为什么要奇偶相隔呢？
把65312还可以写成：
65,321 = 6(9999+1) + 5(999+1) + 3(99+1) + 2(9+1)+1
= 6(9999) + 5(999) + 3(99) + 2(9) + (6+5+3+2+1)

我们发现，99，9999，999999都能被11整除。
换句话说，只要是偶数位的9，就能被11整除。

奇数位的我们用另一种方法处理：
10 = 10^1 = 11 - 1
1000 = 10^3 = 1001 - 1
100000 = 10^5 = 100001 - 1
10000000 = 10^7 = 10000001 - 1

这里面，11,1001,100001,10000001 都能被11整除（你可以演算一下）

所以，我们把65321重新写成：
65,321 = 6(9999+1) + 5(1001 - 1) + 3(99+1) + 2(11-1) + 1

= 6(9999) + 6 + 5(1001) - 5 + 3(99) + 3 + 2(11) - 2 + 1

除了6 - 5 + 3 - 2 + 1这一项以外，其余的都能被11整除。

这就是为什么要奇偶相隔的原因。

Answer 2

简单的说，设三位数个位、十位、百位，分别由a、b、c组成，那么可以写成100a+10b+c=(110a+11b-11a)+a-b+c,
于是括号里的数字能够被11整除，
那么就看后面的数字了，
这个数字恰好是奇数位上的数字之和-偶数位数字之和，那么只要这个数字恰好是奇数位上的数字之和与偶数位数字之和的差能够被11整除几可以了
同理可以证明，四位数，五位数

Answer 3

因为11=10+1，99=100-1，1001=1000+1，9999=10000-1……
上面几个数都能被11整除
只需要证明10∧(2n)-1能被11整除
10∧(2n-1)+1能被11整除即可
10∧2n=(-1-10)+(10+100)-(100+1000)……+(10∧2n+10∧(2n-1))能被11整除
10∧(2n-1)+1=(1+10)-(10+100)+(100+1000)……＋(10∧(2n-1)+10∧(2n-2))能被11整除

Answer 4

奇数位上的数字之和-偶数位数字之和=能被11整出

Answer 5

只要是11的倍数 还有~~~
证明这干什么？