Question

微积分中等价无穷小的替换条件到底是什么啊？

我们书上说的是：等价无穷小量的替换必须是无穷小量之比或者作为求极限函数的乘积因子，且替换后极限存在，才能使用！而我们老师说是极限为零时替换分子或分母的整体或者因式的整体！我就不懂该参照哪一个，如果只是极限为0那么分子为0分母不为零也能换，这与那课本上所说的必须为无穷小量之比才能替换不是冲突了吗？还是我理解错了无穷小量之比这个意思呢？
如果按课本所说的无穷小量之比；那么下图二种紫色部分的的0/1为什么可以替换呢？

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Answer 1

简单来说，极限类型必须是”0/0“型才能用等价无穷小代换。在代换时，加减项一般不能分别代换，而因子可以代换。紫色部分不是0/1，分母里还有x^3呢，所以还是0/0

Answer 2

什么情况下都能替换，就看你取的无穷小的阶是否达到要求，也就是取值是否足够精确。
如求 lim(x→0) (tanx-sinx)/x^3 ，
取 tnax=x，sinx=x 就不够精确（虽然得到极限，但极限不正确，这是由于无穷小的阶没取够），应该取到更高阶，
也就是取 tanx = x+x^3/3，sinx=x-x^3/6 （再取更高阶也无用，反而增加计算麻烦）
这其实就是用泰勒公式，取近似值时看具体问题要求。

Answer 3

一般的讲，加减法中，最好不要用等价无穷小进行替换。
特别是如果f（x）和g（x）都是无穷小，那么当limf（x）/g（x）=1的时候，则f（x）-g（x）就不能用等价无穷小替换，因为替换了以后就是0了。
而当当limf（x）/g（x）=-1的时候，则f（x）+g（x）就不能用等价无穷小替换，因为替换了以后就是0了。
第一题中，lim（x→0）tanx/sinx=1，所以分子中的tanx-sinx不能等价替换。
至于后面的cosx，根本就不是无穷小，当然也就不存在能不能替换的问题。
第二题中，当x→0的时候，两（2^x-1）/（3^x-1）的极限不是-1，所以相加可以替换。

追问

第一第二题？不就是一题吗？还有tanx/sinx=1怎么来的呢？你说的第二题在哪？