Question

微分方程 第4题答案中的特征值是怎么得到的？

还有特征方程又是怎么回事呢？谢谢回答

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Answer 1

题中已知y=2e^-x+e^xsinx为方程的一个特解。根据常系数齐次线性微分方程特征值与解的形式的关系:

特征值有单实根λ，则方程有形如e^λx形式的解。

特征值有一对单虚根α±βi（之所以说一对，是因为虚根总是成对存在）则方程具有形如e^αxcosβx和e^αxsinβx形式的两个线性无关解。

对照特征值解的形式，显然在本题中，有一个特征值λ1=-1的实根，也有一对特征值λ2，3=1±i的虚根，特解中没有出现e^xcosx，是因为通解为三个解的线性组合，此特解形式时的e^xcosx前面的系数为0。

知道了三个特征值，特征方程也就易求了，特征方程就是关于λ的三次方程，因此采用分解成三个因式的方法求得特征方程。

对照特征值解的形式，显然在本题中，有一个特征值λ1=-1的实根，也有一对特征值λ2，3=1±i的虚根，特解中没有出现e^xcosx，是因为通解为三个解的线性组合，此特解形式时的e^xcosx前面的系数为0。

知道了三个特征值，特征方程也就易求了，特征方程就是关于λ的三次方程，因此采用分解成三个因式的方法求得特征方程。

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

以上内容参考—— 百度百科学微分方程

Answer 2

题中已知y=2e^-x+e^xsinx为方程的一个特解。根据常系数齐次线性微分方程特征值与解的形式的关系:
特征值有单实根λ，则方程有形如e^λx形式的解。
特征值有一对单虚根α±βi（之所以说一对，是因为虚根总是成对存在）则方程具有形如e^αxcosβx和e^αxsinβx形式的两个线性无关解。
对照特征值解的形式，显然在本题中，有一个特征值λ1=-1的实根，也有一对特征值λ2，3=1±i的虚根，特解中没有出现e^xcosx，是因为通解为三个解的线性组合，此特解形式时的e^xcosx前面的系数为0。
知道了三个特征值，特征方程也就易求了，特征方程就是关于λ的三次方程，因此采用分解成三个因式的方法求得特征方程。

追问

感谢您的回答，第一个问题我明白了。但是您说的最后一点，知道特征值怎么求的特征方程还是不明白，是λ1=-1，λ2=1+i，λ3=1-i推导出λ+1=0，λ-1-i=0，λ-1+i=0后再直接把这三个式子乘起来就行了是吗？谢谢

追答

特征方程的解就是特征值，在这里已知特征方程为三次方程，和三个解。比如一个一元二次方程知道两根x1=1,x2=-2,那么原方程是多少呢?
就是(x-1)(x+2)=0呀，这里的三次方程也是同理。

追问

感谢您的解答，明白了

Answer 3

由方程的解y=e^(-x)+e^x*sinx看出
λ1=-1，,2,3=1土i.