Question

这个积分怎么用级数做？

Answer 1

这道题目是不是被积函数有问题，分母应该是减1不是加1吧，减1是可以做的，先换元把它转化为可以用级数来做的形式

如图所示，这个积分可以用级数来算
令y=1-t，则dt=-dy
∫(0,1)[lnt/(1-t)]dx
＝∫(1,0)[ln(1-y)/y](-dy)
=∫(0,1)[ln(1-y)/y]dy
根据泰勒级数
ln(1+u)=u-u²/2+u³/3-……
故令u＝－y
ln(1-y)=-y-y²/2-y³/3-……
ln(1-y)/y=-1-y/2-y²/3-y³/4-……
于是
原积分
=∫(0,1)[ln(1-y)/y]dy
=-∫(0,1)(1+y/2+y²/3+y³/4+……)dy
=-(1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+……)
=-π²/6
所以原积分＝－(-π²/6)＝π²/6