Question

如何理解数列极限定义

那个不等式小于e，请问万一这个数列不单调，不就证明不出来了吗？是不是这个定义是不是本身就是不严谨的，因为我认为数列的单调性都没有考虑进去。如果假设数列在n大于N时不单调递增或递减，那么不就没有极限了？

Answer 1

这跟单不单调没有任何关系，我只要保证当n充分大时，xn与A的距离可以任意小就行。如果我能保证这个数列从某一项开始，往后所有的项与A的距离都能够小于我设定的ε，那么A就是极限。当然，我给不同的ε，开始的项可能不一样。比如我给ε=0.1，可能这个数列从第5项开始，即x6，x7，x8，。。。与A的距离都小于0.1。而比如我给ε=0.01，可能这个数列从第10项开始，即x11，x12，。。。与A的距离都小于0.01。

追问

您好，我的问题是如果只限定一个e，得出对应的某一项开始之后的所有项都小于e是不是不够保险？是不是需要所有项之后的项都小于它们相对应的e才更严谨？

追答

如果只限定一个ε，当然不能满足极限的定义，因为极限的定义中说的是任一个ε。

Answer 2

数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，
任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，换句话说就是Xn无限趋近于或等于a。
看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε ，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。换句话说，就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。
这么说的目的是给出一个准确的、可严格进行推导的定义，因此才没有采用我答的第一句话这种说法，而是使用了一个用数学式子表示出的定义。这并没有什么特殊的含义.