Question

∑x^2+y^2+z^2=1求∫(x+y+z)^2

Answer 1

题目不全，不过目测是求第一类曲面积分∫∫(x+y+z)^2dS，参考下面详细分析过程：
思路：注意奇偶对称性——奇函数在对称区间的积分等于0
分析：
被积函数(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx，其中xy关于x是奇函数，而积分曲面∑关于坐标面x=0（即yoz平面）对称，根据上述奇偶对称性可知：
∫∫2xydS=0，同理：∫∫2yzdS=∫∫2zxdS=0
另外，注意曲面∑满足：x^2+y^2+z^2=1，可以代入到被积函数，
所以：
∫∫(x+y+z)^2dS
= ∫∫(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)dS
=∫∫(1+2xy+2yz+2zx)dS
=∫∫dS+∫∫2xydS+∫∫2yzdS+∫∫2zxdS
=∫∫dS
=4π
其中，∫∫dS几何意义为曲面∑即球面的表面积。