Question

下列说法正确的是______①常数列既是等差数列，又是等比数列②实数等差数列中，若公差d＜0，则数列必是递

Answer 1

①当常数列的项都为0时，是等差数列但不是等比数列，此命题为假命题；
②∵等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d=dn+a1-d为关于n的一次函数，由d＜0，得到数列必是递减数列，此命题为真命题；
③取首项为-1，公比为2＞1的等比数列，但此数列是递减数列，此命题为假命题；
④当等比数列的公比为1时，等比数列的前n项和公式没有意义，此命题为假命题．
⑤∵数列an=n2+λn（n∈N*）为单调递增数列，
∴an+1＞an恒成立，即（n-1）2+λ（n+1）＞n2+λn，化简得λ＞-2n-1，
而-2n-1≤-3，∴λ＞-3．此命题为真命题．
∴正确命题的序号是：②⑤．
故答案为：②⑤．

Answer 2

由等差数列的求和公式可得sn=na1+
n(n?1)
2
d=
d
2
n2+（a1+
d
2
）n，
选项①，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{sn}有最大项，故正确；
选项②，若数列{sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；
选项③，若对任意n∈n*，均有sn＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，
可得数列{sn}是递增数列，故正确；
选项④，若数列{sn}是递增数列，则对应抛物线开口向上，
但不一定有任意n∈n*，均有sn＞0，故错误．
故答案为：①②③