Question

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB‖DC.(1)求证:D1C⊥AC1

Answer 1

解：（1）证明：在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，
连接c1d，∵dc=dd1，
∴四边形dcc1d1是正方形．∴dc1⊥d1c．
又ad⊥dc，ad⊥dd1，dc⊥dd1=d，
∴ad⊥平面dcc1d1，d1c?平面dcc1d1，
∴ad⊥d1c．∵ad，dc1?平面adc1，
且ad⊥dc=d，∴d1c⊥平面adc1，
又ac1?平面adc1，∴d1c⊥ac1．

（2）连接ad1，连接ae，
设ad1∩a1d=m，bd∩ae=n，连接mn，∵平面ad1e∩平面a1bd=mn，
要使d1e∥平面a1bd，
须使mn∥d1e，
又m是ad1的中点．∴n是ae的中点．
又易知△abn≌△edn，∴ab=de．
即e是dc的中点．
综上所述，当e是dc的中点时，可使d1e∥平面a1bd．