Question

直线到平面的距离怎么求，用向量法

Answer 1

点到平面的距离公式为：设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d=|a*n|/|n|，即：a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

Answer 2

要求直线到平面的距离，可以使用向量法。下面是求直线到平面距离的步骤：
1. 确定直线和平面的方程：假设直线的方程为L，平面的方程为P。
2. 求直线上一点到平面的距离矢量：选择直线上的一点，记为A。计算点A到平面P的距离矢量，记为d。
3. 求平面法向量：从平面的方程P中提取法向量n。
4. 计算直线到平面的距离：直线到平面的距离等于距离矢量d在平面法向量n的投影长度。
具体的计算步骤如下：
1. 设直线的参数方程为 L: r = r0 + td，其中 r0 是直线上一点的位置矢量，d 是直线的方向向量。
2. 设平面的方程为 P: ax + by + cz + d = 0，其中 (a, b, c) 是平面的法向量。
3. 选择直线上的一点 A，将其代入平面的方程 P，得到 A 所在的平面上的点坐标 (x0, y0, z0)。
4. 计算点 A 到平面的距离矢量 d = r0 - (x0, y0, z0)，即从点 A 到平面上的点的矢量差。
5. 计算距离矢量 d 在平面法向量 n = (a, b, c) 上的投影长度，即直线到平面的距离。
公式为：
distance = |d · n| / |n|
其中，|d · n| 是矢量点乘的模，|n| 是平面法向量的模。
这样就可以得到直线到平面的距离。

Answer 3

使用向量法求直线到平面的距离可以按照以下步骤进行：
1. 确定平面的法向量：设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中法向量为N = (A, B, C)。
2. 确定直线上一点：设直线的方程为P = P₀ + tV，其中P₀为直线上的一点，V为直线的方向向量，t为参数。选择一个点P₀，可以通过已知条件或者方便计算的方式选取。
3. 计算直线到平面的距离：直线到平面的距离可以通过投影向量来计算。投影向量为直线上一点到平面上的一个点的向量，即P - Q，其中Q为平面上的一个点。这个投影向量与平面的法向量N垂直。
4. 计算距离：投影向量与平面的法向量的内积除以法向量的模长，即可得到直线到平面的距离。
具体来说，可以按如下公式计算直线到平面的距离：
distance = |(P - Q)·N| / |N|
其中，·表示点积运算，|N|表示法向量N的模长。
需要注意的是，这个公式假设平面和直线不平行，且直线上的点P不在平面上。若直线和平面平行或者直线上的点在平面上，则直线到平面的距离为0

Answer 4

点到平面的距离，在平面上任意取一点为起点，所求点为终点，连成的向量和平面单位法向量的点乘就是距离
线到平面的距离：线的方向向量和平面法向量点乘，如果结果不为0，则距离为0，否则，在直线上任意取一点用上面的方法求距离即可

Answer 5

取直线上和平面上各一点，连接两点构成的向量和平面的单位法向量点乘的绝对值就是直线上该点到平面的距离距离。然后再求其最小值就是所求