Question

若△DEF是等边三角形，有AD=BE=CF ，求证△ABC为等边三角形。

Answer 1

1°设△ABC为等腰三角形
设AB=AC
则∠B=∠C
AB-BD=AC-AF
即AD=CF
又AF=CE,DF=EF
∴△DAF与△FCE全等
∴∠A=∠C
又∠B=∠C
∴△ABC等边

2°设△ABC不等腰
设∠A＞∠B＞∠C，∠ADF=X,∠BED=Y，∠CFE=Z
则∠A=60°+Z-X,∠B=60°+X-Y，∠C=60°+Y-Z
由正弦定理得：AF:sinX=DF:sin(60°+Z-X)
∴AF:DF=sinX:sin(60°+Z-X)
同理DB:DE=sinY:sin(60°+X-Y)
EC:EF=sinY:sin(60°+Y-Z)
∵AF=CE=DB,△DEF等边
∴sinX：sin(60°+Z-X)=sinY:sin(60°+X-Y)=
sinY:sin(60°+Y-Z)
∵∠A＞∠B＞∠C
∴sinA＞sinB＞sinC【至于为什么等会再证】
即sin(60°+Z-X)＞sin(60°+X-Y)＞sin(60°+Y-Z)
∴sinX＞sinY＞sinZ
∴X＞Y＞Z
∵在三角形中，∠A＞∠B＞∠C
∴∠A＞60°
即60°+Z-X＞60°
∴Z＞X
∴假设不成立

综上就不写了

【至于为何∠A＞∠B＞∠C可推出sinA＞sinB＞sinC呢】
由正弦定理得：
a：sinA=b:sinB=c:sinC
又“大角对大边”：∵∠A＞∠B＞∠C，∴a＞b＞c
∴∠A＞∠B＞∠C可推出sinA＞sinB＞sinC了