Question

高数二重积分，积分中值定理？

Answer 1

看图来说话定积分区域…乱七八糟答案真多，详细过程如图rt，希望能帮到你解决你心中的问题

Answer 2

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

基本信息
中文名
二重积分

外文名
double integral

应用学科
数学

本质
曲顶柱体体积

所属学科
高等数学，分析数学，积分学

研究对象
多元函数

计算方法
化为二次积分

性质
数学术语

积分种类
黎曼积分

收起
定义
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域

，并以

表示第

个子域的面积。在

上任取一点

作和

。如果当各个子域的直径中的最大值

趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数

在区域

上的二重积分，记为

，即

。

这时，称

在

上可积，其中

称被积函数，

称为被积表达式，

称为面积元素，

称为积分区域，

称为二重积分号。

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

性质
积分的线性性质
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

(k为常数）

比较性
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则

估值性
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，

则

性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

几何意义
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分

,其中

，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积

。

数值意义
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

如函数

，其积分区域D是由

所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

直角坐标系中的计算方法
当f（x，y）在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为

由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。

X型区域
设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a<b），两条曲线

围成。可以表示

的区域称为X型区域，如图。

特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界不多于两点。

如左图，对任意取定的x0∈[a，b]，过点（x0，0，0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间

为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形，由于x0的任意性，这一截面的面积为

，其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到：

Y型区域
积分区域

称为Y型区域。

特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界不多于两点。

称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分

Answer 3

二重积分中值定理相关内容。


编