Question

请问这两道微分方程的题目怎么做？

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Answer 1

12、y(x)=-1+x+2∫(0,x) (x-t)y(t)y'(t)dt=-1+x+2x∫(0,x) y(t)y'(t)dt-2∫(0,x) ty(t)y'(t)dt
两边求导，y'(x)=1+2∫(0,x) y(t)y'(t)dt+2xy(x)y'(x)-2xy(x)y'(x)=1+2∫(0,x) y(t)y'(t)dt
再次求导，y''(x)=2y(x)y'(x)=[y(x)^2]'
y'(x)=y(x)^2+C1，其中C1是任意常数
因为y(0)=-1，y'(0)=1，则将x=0带入上式，有1=(-1)^2+C1，得：C1=0
即y'(x)=y(x)^2
-y'(x)/y(x)^2=-1
[1/y(x)]'=-1
1/y(x)=-x+C2，其中C2是任意常数
将x=0带入上式，有1/(-1)=0+C2，得：C2=-1
即1/y(x)=-x-1
y(x)=-1/(x+1)
16、
（1）令y2=u(x)*y1(x)=u(x)*e^x是与y1线性无关的另一个特解，代入齐次方程
(u''+2u'+u)+(u'+u)x/(1-x)-u/(1-x)=0
u''+u'*[2+x/(1-x)]=0

u'=(x-1)e^(-x)
u=-xe^(-x)
所以y2=-x，y1=e^x是齐次方程的两个线性无关的特解
所以齐次方程通解为：y=c1*(-x)+c2*e^x，其中c1,c2是任意常数
接下来用常数变易法求解非齐次方程的通解
设非齐次方程的通解为：y=c1(x)*(-x)+c2(x)*e^x，

y'=c1'(x)*(-x)-c1(x)+c2'(x)*e^x+c2(x)*e^x
设c1'(x)*(-x)+c2'(x)*e^x=0，则y'=-c1(x)+c2(x)*e^x
y''=-c1'(x)+c2'(x)*e^x+c2(x)*e^x
将y'',y',y代入非齐次方程
[-c1'(x)+c2'(x)*e^x+c2(x)*e^x]+[-c1(x)+c2(x)*e^x]*x/(1-x)-[c1(x)*(-x)+c2(x)*e^x]*1/(1-x)=x-1
-c1'(x)+c2'(x)*e^x=x-1

将c1'(x)*(-x)+c2'(x)*e^x=0，-c1'(x)+c2'(x)*e^x=x-1两式联立，得：
c1'(x)=1，c2'(x)=xe^(-x)
c1(x)=x+C1，c2(x)=-(x+1)e^(-x)+C2，其中C1,C2是任意常数
则非齐次方程的通解为：y=(x+C1)*(-x)+[-(x+1)e^(-x)+C2]*e^x
y=C1*x+C2*e^x-(x^2+x+1)
（2）做法和(1)一样，你自己算下吧