Question

已知函数f（x）=x2+ax+b-a（a，b∈R）．（1）若关于x的不等式f（x...

已知函数f（x）=x2+ax+b-a（a，b∈R）． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），求实数a，b的值； （2）设a=2，若不等式f（x）＞b2-3b对任意实数x都成立，求实数b的取值范围； （3）设b=3，解关于x的不等式组f(x)＞0x＞1．

Answer 1

解：（1）因为不等式f（x）=x2+ax+b-a＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），
所以由题意得-1，3为函数x2+ax+b-a=0的两个根，
所以(-1)2+(-1)a+b-a=032+3a+b-a=0，解得a=-2，b=-5．
（2）当a=2时，x2+2x+b-2＞b2-3b恒成立，即x2+2x-2＞b2-4b恒成立．
因为x2+2x-2=（x+1）2-3≥-3，所以b2-4b＜-3，
解之得1＜b＜3，所以实数b的取值范围为1＜b＜3．
（3）当b=3时，f（x）=x2+ax+3-a，f（x）的图象的对称轴为x=-a2．
（ⅰ）当△＜0，即-6＜a＜2时，由f(x)＞0x＞1，得x＞1，
（ⅱ）当△=0，即a=2或-6时
①当a=2时，由f(x)＞0x＞1，得x2+2x+1＞0x＞1，所以x＞1，
②当a=-6时，由f(x)＞0x＞1，得x2-6x+9＞0x＞1，所以1＜x＜3或x＞3，
（ⅲ）当△＞0，即a＜-6或a＞2时，方程f（x）=0的两个根为x1=-a-a2+4a-122，x2=-a+a2+4a-122，
①当a＜-6时，由f(1)＞0-a2＞3知1＜x1＜x2，所以f(x)＞0x＞1的解为1＜x＜x1或x＞x2，
②当a＞2时，由f(1)＞0-a2＜-1知x1＜x2＜1，所以f(x)＞0x＞1的解为x＞1，
综上所述，
当a≤-6时，不等式组的解集为(1，-a-a2+4a-122)∪(-a+a2+4a-122，+∞)，
当a＞-6时，不等式组的解集为（1，+∞）．