Question

设a、b、c都是正数,且a/b+b/c+c/a=3,求证：a=b=c

Answer 1

只有当a=b=c时，a/b+b/c+c/a=3成立。

证明：根据三元不等式，当x，y，z＞0时，x+y+z≥3*(x*y*z)^(1/3)，当且仅当a=b=c时，等号成立。

因为a，b，c都是正数，即a，b，c＞0。

那么a/b+b/c+c/a≥3*((a/b)*(b/c)*(c/a))^(1/3)=3*1=3，

即a/b+b/c+c/a≥3。

要使a/b+b/c+c/a=3，

只有当a/b=b/c=c/a时，即a=b=c=时，a/b+b/c+c/a=3。

以上即为证明过程。

Answer 2

由三元的基本不等式得：
设 a、b、c都是正数,
a/b+b/c+c/a≥3·〔(a/b×b/c×c/a)的三次方根〕=3×1=3
当且仅当 a=b=c时 取等号.