Question

已知0＜c＜b＜a，求证:a^a b^b c^c＜(abc)^a+b+c/3

Answer 1

应该是证明:a^ab^bc^c>=(abc)^(a+b+c)/3吧?
证:要证原不等式
即证
a^3a*b^3b*c^3c≥
(abc)^(a+b+c)
∵a＞0,b＞0,c＞0
∴
(abc)^(a+b+c)＞0，a^3a*b^3b*c^3c＞0
相除有(a^3a*b^3b*c^3c)/(abc)^(a+b+c)≥1
化简a^(2a-b-c)*b^(2b-a-c)*c^(2c-a-b)≥1
再化简
a^[(a-b)-(c-a)]*b^[(b-c)-(a-b)]*c^[(c-a)-(b-c)]≥1
即(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∴要证原不等式
即证(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∵(a/b)^(a-b)≥1(分a＞b,a＜b讨论下就知道了)
同理)(b/c)^(b-c)≥1
(c/a)^(c-a)≥1
∴(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)≥1
∴原不等式成立
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证明如下:
1、如果a＞b，那么:a-b＞0，且(a/b)＞1，
∴此时(a/b)^(a-b)＞1。
2、如果a=b，那么:a-b=0，且(a/b)=1，
∴此时(a/b)^(a-b)=1。
3、如果a＜b，那么:b-a＞0，且(b/a)＞1，
∴此时(a/b)^(a-b)=[(b/a)^(-1)]^[-(b-a)]=(b/a)^(b-a)＞1。
∴无论a、b的大小如何，都有:(a/b)^(a-b)≥1，∴[(a/b)^a]/[(a/b)^b]≥1，
∴(a/b)^a≥(a/b)^b，∴a^a/b^a≥a^b/b^b，∴a^a×b^b≥a^b×b^a。
同理，有:a^a×c^c≥a^c×c^a，
c^c×b^b≥c^b×b^c。
∴(a^a×b^b)(a^a×c^c)(c^c×b^b)≥(a^b×b^a)(a^c×c^a)(c^b×b^c)，
∴(a^a×b^b×c^c)^2≥a^(b+c)×b^(a+c)×c^(a+b)，
∴(a^a×b^b×c^c)^3≥a^(a+b+c)×b^(a+b+c)×c^(a+b+c)=(abc)^(a+b+c)
∴a^a×b^b×c^c≥√[(abc)^(a+b+c)]=(abc)^[(a+b+c)/3]。
即:a^a×b^b×c^c≥(abc)^[(a+b+c)/3]。