Question

初中数学题

老是布置的假期作业：每天自己做5道数学题，要200多道呢，我实在找不到，求一些数学题啊（带过程的）

Answer 1

假设n是2以上的整数，某自然数（1以上的整数）乘上n所得的数称为n的乘数，那么请回答以下问题：
(1)证明2个连续自然数的积不是n的乘数
(2)证明n个连续自然数的积不是n的乘数
证明：（I）原问题即证k(k+1)=m^n不成立，其中k,m∈N+
使用反证法
∵任意正整数均可以表示成不同质数的乘积，∴不妨设m=(p1^s1)(p2^s2)(p3^s3)...(px^sx)，其中pi(i=1,2,3...x)为从2开始的质数，si∈N+
又∵k与k+1均是m的约数，
∴我们可以认为k是取qi个pi相乘所得的数，而k+1是取(nsi-qi)个pi相乘所得的数，其中i=1,2,3...x且qi=0,1,2,3...nsi
也即k=(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx)，
k+1=[p1^(ns1-q1)][p2^(ns2-q2)][p3^(ns3-q3)]...[px^(nsx-qx)]=(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx)+1
①
在①中，对pi而言，若qi与nsi-qi不同时为0，
则pi|(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx)，∴pi\(p1^qi)(p2^q2)(p3^q3)...(px^qx)+1，其中“|”和“\”表示整除与不整除
又pi|[p1^(ns1-q1)][p2^(ns2-q2)][p3^(ns3-q3)]，矛盾
∴qi与nsi-qi必有一个为0，∴k和k+1必为某两个整数的n次方，设k=r^n，k+1=t^n，这里r,t∈N+，rt=m
则r^n+1=t^n
②
又∵(t-r)|1=t^n-r^n，∴t-r=1
但此时②不可能成立，矛盾
∴假设不成立，即证
（II）原问题即证k(k+1)(k+2)...(k+n-1)=m^n
③不成立，其中k,m∈N+
依旧使用反证法
∵k^n＜k(k+1)(k+2)...(k+n-1)＜(k+n-1)^n
∴k+1≤m≤k+n-2
又∵m∈N+，∴不妨设m=k+p，其中1≤p≤n-2，p∈N+
在③中，显然(k+p+1)|k(k+1)(k+2)...(k+n-1)
但∵相邻两整数互质，即(k+p+1)\(k+p)，∴(k+p+1)\(k+p)^n，矛盾
∴假设不成立，即证