Question

两个矩阵等价可以推出什么？

Answer 1

A经过一系列初等变换等到B称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ，那么AB秩相等而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP，由此可见相似的结论强于等价。

具有的性质更多了：比如特征值相同，行列式相同等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。

A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。

等价矩阵的性质

1、矩阵A和A等价(反身性）。

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）。

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）。

4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)。

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。