Question

求证，奇函数加减偶函数为什么是非奇非偶呢

Answer 1

可以直接证明得出。
设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
记F（x）=f（x）+g（x）
则F（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）≠F（x）
且F（-x）≠-F（x）
同理可证设F（x）=f（x）-g（x）则F（-x）≠F（x）且F（-x）≠-F（x）
所以奇函数和偶函数相加减为非奇非偶函数。

Answer 2

设h(x)=f(x)+g(x)则h(-x)=f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)若h(x)为偶函数，当且仅当f(x)=0 若h(x)为奇函数，当且仅当g(x)=0 所以，如果f(x)和g(x)都不是恒为0的函数，那么h(.

Answer 3

假设奇函数f(x)，偶函数g(x)
那么奇函数加减偶函数就是f(x)±g(x)
设f(x)+g(x)＝h(x)
由奇偶函数的定义，
f(-x)＝-f(x)，g(-x)＝g(x)
而h(-x)＝-f(x)+g(x)≠-f(x)-g(x)＝-h(x)
且h(-x)＝-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)＝h(x)
所以h(x)既不满足奇函数的定义，也不满足偶函数的定义
也就是说h(x)＝f(x)+g(x)是非奇非偶函数
同理可证函数f(x)-g(x)是非奇非偶函数
命题得证。

Answer 4

假设f(x)是奇函数，也就是f(x)=-f(-x);假设g(x)是偶函数，也就是g(x)=g(-x)。
则F(x)=f(x)+g(x)=-f(-x)+g(-x);
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)。
可见F(x)既不等于F(-x)，也不等于-F(-x)，所以非奇非偶。