Question

请问这道初/高中数学题怎么做？

求所有的正整数对（x,n），使得[x^（n+1）+2^（n+1）+1]是（x^n+2^n+1）的整数倍。两张图片都是这道题，比较糊。求解答过程，谢谢。

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Answer 1

由题意知，存在正整数k使得，即

当n=1时，

此时 x＝4或x＝11

当n≥2时，不存在正整数k使得成立，所以 x＝4或x＝11

（这种题目可以通过直接代入数字来做）

追问

为什么当n≥2时，不存在正整数k使得成立呢？原谅我太笨了，不能理解

追答

这个你可以自己代入数字进去算

追问

可是正整数那么多，怎么代的完呢？有没有严谨的证明？谢谢

追答

n越大，x的n次方越大，2的n次方越大，而x的n次方随着x的增大变得越来越大，远远大于2的n次方，（n+1）次方也是同理

追问

好吧，算了，谢谢你