Question

微分方程求解

微分方程，过程尽量详细，谢谢了!

Answer 1

解:微分方程为y"+4y'+4y=xcos2x，设微分方程的特征值为p，特征方程为
λ²+4λ+4=0，得:λ=-2(二重根)，特征根为(Ax+B)e^(-2x)
又∵微分方程的右式为xcos2x ∴设微分方程的特解为y=(ax+c)sin2x+(px+q)cos2x，y'=(2ax+2c+p)cos2x+(a-2px-2q)sin2x，y"=(4a-4px-4q)
cos2x+(-4p-4ax-4c)sin2x，有
(4a-4px-4q)cos2x+(-4p-4ax-4c)
sin2x+4(2ax+2c+p)cos2x+4(a-2px-2q)sin2x+4(ax+c)sin2x+4(px+q)cos2x=xcos2x，(8ax+8c+4a+4p)
cos2x+(4a-8px-8q-4p)sin2x=
xcos2x，得:-8p=0，4a-8q-4p=0，
8a=1，8c+4a+4p=0；p=0，a=1/8，
q=1/16，c=-1/16 ∴微分方程的通解
y=(Ax+B)e^(-2x)+(x/8-1/16)sin2x+(1/16)cos2x

Answer 2

我给了三种可能的方法。感觉都很难算，最后用软件算出来一个最终结果，你可以自行验证。

Answer 3

设y=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x是y''+4y'+4y=xcos2x①的解，其中a,b,c,d是常数，

计算y'，y''，
都代入①，比较系数得a,b,c,d的线性方程组，解方程组得a,b,c,d的值，就得①的一个特解。
具体计算从略，可以吗？