高等数学求不定积分,怎么做?要详细答案最好手写

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2021-12-12
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一、原函数

如果在区间上, ,则 称为 的一个原函数.

【注】如果一个函数存在原函数,那么它有无穷多个原函数,而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数.对于不同描述形式的原函数,相差的常数可以通过取特定变量值来得到. 比如

, 都是 的原函数,则

令 ,得 ,即

二、原函数存在定理

原函数存在定理:

(1)若函数 在区间 上连续,则 在区间 上存在原函数.

(2)如果在区间 上函数 有第一类间断点和第二类无穷间断点,则函数在该区间 上没有原函数;如果函数在区间 上仅仅具有第二类振荡间断点,则有可能存在有原函数.

例1包含振荡间断点的区间内定义的函数可能存在有原函数. 如

为 的振荡间断点, 在全体实数范围内有原函数 .

例2包含第一类间断点的区间内函数不存在原函数.

在 点出分别为函数 的第一类跳跃间断点和可去间断点,它们在区间 上都不存在原函数. 对于 ,在 处对应着分段函数的尖点位置;对于 ,假设有原函数 ,则在 时,有 ,由可导必定连续,则 ,所以在 内 ,从而有 ,从而与所设 为 的原函数矛盾.

例3包含第二类无穷间断点的区间内函数不存在原函数. 如

在区间 上不存在原函数,其中 为函数 的无穷间断点. 虽然通常记

但这仅仅是一种形式上的记法,并不代表 在区间 上存在原函数,因为对数函数 在 处根本没有定义,当然也就不可能存在导数.

三、不定积分

函数 在区间 上所有原函数的一般表达式称为 在 上的不定积分,并且有

其中


  • 称为积分常数或任意常数

  • 是 的在区间 上的任意一个原函数

  • 称为被积函数,

  • 称为被积表达式,计算中就为原函数的微分,即

  • 称为积分变量,即仅仅对 变量求导数或微分,其余符号对于积分而言为常数.

  • 【注】不定积分是所有原函数的集合,结果一定不能缺少 !没有 则仅仅是原函数集合中的一个元素.

    四、不定积分基本性质

    1、求导、微分与积分的互逆运算

    【注】不定积分与求导、微分互为逆运算,交替使用相互“抵消”. 最后的一个运算决定结果形式,最后运算为不定积分,则结果不能忽略任意常数 ;为微分运算,则结果不能缺少 .

    2、不定积分线性运算性质

    如果 与 的原函数存在,则

    其中 和 为常数.

    五、基本不定积分公式

    由基本初等函数的导数基本公式,逆向推导有基本初等函数的不定积分基本计算公式,它们是求不定积分的基础,必须熟记和掌握!具体基本积分表参见后面的课件或教材!

    【注1】基本不定积分基本公式表中的公式中的d就为微分运算符. 其中的积分变量符号x可以直接替换为任意可导函数表达式.不过记得一定是等式两端所有x都换成相同的表达式. 如

    由此可知 是 的一个原函数. 这个结果的应用直接得到后面不定积分的“凑微分”法或第一类换元法.

    【注2】对于不定积分结果在计算出来以后,一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数. 只要求导结果为被积函数,则不管结果的描述形式如何都为正确结果.

    【注3】有理函数的积分一般拆分成部分分式计算积分,有理函数的部分分式分解参见推荐阅读列表中的“

    关于不定积分、定积分与多元函数积分计算正确性的验证和思路、方法的有效性的验证与确认,可以参见如下的推文给出的方法:

    高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”,参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程,具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下在的在线课堂专题讲座选项了解!

    参考课件

    【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文,或者通过公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项,在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表!

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