Question

正整数a与b使得ab+1整除（a^2+b^2）,求证 (a^2+b^2)/(ab+1)是某个正整数的平方．

Answer 1

记M={a+b|a,b ib N+,ab+1|a^2+b^2,且a^2+b^2/ab+1不是完全平方数}
若M不是空集,则必然存在最小数a0+b0,不妨设a0>=b0.
因为a0b0+1|a0^2+b0^2,设a0^2+b0^2/a0b0+1=k0 ib N+,从而
a0^2-k0b0a0+b0^2-k0=0.
考虑一元二次方程x^2-k0b0x+b0^2-k0
显然a0是一根,设a1是方程的另一根
因为a0,b0,k0 ib N+,由a0+a1=k0b0得,a1 ib Z
由a0a1=b0^2-k0得,a1=b0^2-k0/a0
所以k0(b0a1+1)=a1^2+b0^2>0,所以b0a1+1>0,即b0a1>-1,所以b0a1>=0
所以a1>=0,若a1=0,则k0=b0^2,所以k00
由方程a1^2+b0^2/a1b0+1=k0,k0不是完全平方数
因为a0>=b0>0,k0 ib N+,所以a0^2>=b0^2>b0^2-k0,所以a0>b0^2-k/a0=a1
即a0>a1,a0+b0>a1+b0,矛盾
得证...