Question

求所有的正整数对（a，b），使得ab 2 +b+7整除a 2 b+a+b

求所有的正整数对（a，b），使得ab 2 +b+7整除a 2 b+a+b．

Answer 1

由条件ab 2 +b+7整除a 2 b+a+b， 显然ab 2 +b+7|a 2 b 2 +ab+b 2 ， 而a 2 b 2 +ab+b 2 =a（ab 2 +b+7）+b 2 -7a，故ab 2 +b+7|b 2 -7a， 下面分三种情况讨论； 情形一：b 2 -7a＞0；这时b 2 -7a＜b 2 ＜ab 2 +b+7，矛盾； 情形二：b 2 =7a，此时a，b应具有a=7k 2 ，b=7k，k是正整数的形式，显然（a，b）=（7k 2 ，7k）满足条件； 情形二：b 2 -7a＜0，这时由7a-b 2 ≥ab 2 +b+7，则b 2 ＜7， 进而b=1或2，当b=1时，则条件 a 2 +a+1 a+8 =a-7+ 57 a+8 为正整数， 57能被a+8整除，可知a+8=19或57，进而知a=11或49， 解得（a，b）=（11，1）或（49，1）； 当b=2时，由 7a-4 4a+9 （＜2）为正整数，可知 7a-4 4a+9 =1，此时 a= 13 3 ，矛盾； 综上，所有解为（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k 2 ，7k）（k是正整数）．