Question

向量的秩的定义是什么？

Answer 1

定义

设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

基本性质

1. 只含零向量的向量组没有极大无关组；

2. 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

3. 极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

4. 齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

5. 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

6. 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

7. 若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

相关定理

1. 定理一

   设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果

   （1）向量组 a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，

   （2）r>s,

   那么 向量组a1,a2,…,ar必 线性相关。

   推论1

   如果 向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，且a1,a2,…,ar线性无关，那么r≤s。

   推论2

   任意n+1个n维 向量必 线性相关。

   推论3

   两个线性无关的 等价向量组，必含有相同个数的向量。

2. 定理二

   一 向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。

3. 定理三

   一 向量组线性无关的 充分必要条件是，它的秩与它所含向量的个数相同。

   推论4

   等价的向量组必有相同的秩。