Question

向量组的秩与线性相关的关系是什么?

Answer 1

向量组的秩与线性相关的关系是向量没有秩，向量组才有。向量组的秩是其线性不相关的子向量组中的个数最多的一个。

一、线性相关与线性表达

1、定义不同：线性表示—指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。线性相关—在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

2、满足条件不同：线性表示是说对于一个向量,可以用n个向量线性来表示,这n个向量的系数为任意整数x= a1x1 + a2x2+…+anxn； a1…an为任意整数。线性相关是指n个向量 a1x1+a2x2+…+anxn=0中,满足条件的a1…an不全为0。

3、表示不同：线性表示是一个向量与一个向量组的关系。线性相关性是向量组内部向量之间的关系。线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

二、向量组的秩与最大线性无关组

1、设在矩阵中有一个非零的r阶子式，且所有r+1阶子式的值均为零。r的值称为矩阵的秩R(A)。

2、一组向量里取出一个部分向量组。这个部分向量组满足线性无关且能表示整组向量的每个元素称作极大无关组。

3、一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩。

三、向量个数与维数

1、增加向量的个数，不改变向量的相关性。减少向量的个数，不改变向量的无关性。

2、向量维数=方程组的个数；向量组数=方程组中未知数的个数。