Question

三角函数公式的推导是怎样的？

Answer 1

1、正弦函数 sin（A）=a/c

2、余弦函数 cos（A）=b/c

3、正切函数 tan（A）=a/b

4、余切函数 cot（A）=b/a

其中a为对边，b为临边，c为斜边，通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

三角函数的定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

二角和差公式介绍

1、sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

2、cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

3、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

4、sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

5、cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

6、tan(α+β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

以上内容参考 百度百科—三角函数公式

Answer 2

假设在平面直角坐标系中，有一个角为 $\theta$ 的直角三角形，其斜边长度为 $r$。
根据三角形的定义，我们可以得到：
$$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$
$$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$
$$\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{y}{x}$$
其中，$\cos\theta$ 表示角 $\theta$ 的余弦值，$\sin\theta$ 表示角 $\theta$ 的正弦值，$\tan\theta$ 表示角 $\theta$ 的正切值，$x$ 表示角 $\theta$ 的邻边长度，$y$ 表示角 $\theta$ 的对边长度。
由于 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，可以得到以下两个公式：
$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$$
$$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$$
又因为 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，可以得到以下公式：
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y/r}{x/r} = \frac{y}{x}$$
通过上述公式的变形和代入，可以得到其他许多三角函数公式。例如，通过 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$，可以得到以下公式：
$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$$
类似的，通过 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 和 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，可以得到以下公式：
$$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$
$$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$
$$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
三角函数公式的推导就是基于三角形的几何关系和三角函数的定义，通过代数运算和变形，得出各种三角函数之间的关系式。