Question

8.一个假分数,分子与分母的和是57,分子至少要 减去6才能使这个假分数变成真分数，假分数是多少？

Answer 1

设这个假分数为 $\frac{a}{b}$，其中 $a,b$ 为正整数且 $a>b$，则这个假分数可以表示为 $1+\frac{a-b}{b}$。根据题意得到以下两个方程：
a+b=57 \\ a-6<ba+b=57a−6<b
将第二个方程变形得 $a-b<6$，再将其代入第一个方程得 $2a<63$，即 $a<\frac{63}{2}=31.5$，因此 $a$ 的可能取值为 $1,2,\ldots,31$。代入第一个方程可以得到 $b=57-a$，再检查 $a-6<b$ 是否成立，可以发现当 $a \geq 7$ 时均成立，因此 $a$ 的取值范围为 $7 \leq a \leq 31$。
因为要求这个假分数是最简分数，所以需要找到分子分母的最大公约数并约分。根据上面得到的表达式，这个假分数可以写成 $\frac{a-b}{b}$，因此分子分母的最大公约数为 $b$。为了方便计算，可以先将 $a$ 和 $b$ 约分，得到一个最简分数的形式，再将分子加上 $b$，得到原来的假分数。
因此，最终的假分数为：
\frac{a}{b} = 1 + \frac{a-b}{b} = 1 + \frac{\frac{a}{\gcd(a,b)}-\frac{b}{\gcd(a,b)}}{\frac{b}{\gcd(a,b)}} = 1 + \frac{a'}{b'}ba=1+ba−b=1+gcd(a,b)bgcd(a,b)a−gcd(a,b)b=1+b′a′
其中 $a'=\frac{a}{\gcd(a,b)}, b'=\frac{b}{\gcd(a,b)}$，且 $a',b'$ 互质。由于 $b' | b$，$a+b=57$，因此 $b' | 57$，而 $a'+b'=\frac{a}{\gcd(a,b)}+\frac{b}{\gcd(a,b)}=\frac{57}{\gcd(a,b)}$，因此 $a'+b' | 57$。结合上面得到的 $7 \leq a \leq 31$，可以列出以下可能的组合：

$a'$
$b'$
$a'+b'$

1 6 7
2 5 7
3 4 7
4 3 7
5 2 7
6 1 7
7 50 57
14 29 43
21 8 29
28 29 57
由此得到假分数：
41/16

Answer 2

分子至少要 减去6才能使这个假分数变成真分数25/26,
所以假分数是31/26.

Answer 3

解答：设假分数为a/b，则：a-5=b(1)，a+b=57(2)，推出b=26，a=31
假分数为31/26。