Question

从1到2022中至少选出多少个数能保证其中有两个数的和是5的倍数？

Answer 1

回答;选出405个

这个问题可以用鸽笼原理来解决。

首先确定5的倍数有多少个，即计算从1到2022中有几个数是5的倍数。由于5的倍数的个数为2022/5=404个，因此至少需要选出405个数才能保证其中有两个数的和是5的倍数。

这是因为，如果我们只选出了404个数，那么这些数能够表示成5的倍数加上1、2、3、4中的一个。如果我们只选出了其中一个数，那么它只能表示成5的倍数加上1、2、3、4中的一个，不管它是哪种情况，我们选出的第二个数也只可能表示成5的倍数加上1、2、3、4中的一个，因此它们的和一定不能是5的倍数。

而如果我们选出了405个数，那么其中一定至少有两个数的余数相同，假设这两个数分别为a和b，且它们的余数都是k（0<=k<=4）。那么a+b的余数就是2k或2k+5，如果a+b的余数是2k，那么它们的和是5的倍数；如果a+b的余数是2k+5，那么它们的和加上5就是5的倍数。

因此，选出405个数就能保证其中有两个数的和是5的倍数。

Answer 2

思路：先分组，再利用抽屉原理

被5除余1的为第一组，共有[2022/5]+1=405个数

被5除余2的为第二组，共有[2022/5]+1=405个数

被5除余3的为第三组，共有[2022/5]=404个数

被5除余4的为第四组，共有[2022/5]=404个数

被5整除的为第五组，共有[2022/5]=404个数

注意到：

第一组和第三组各取一个数的和就是5的倍数

第二组和第四组各取一个数的和就是5的倍数

第五组取两个数的和就是5的倍数

那么取第一组、第二组全部数以及第五组一个数，

即最多取405+405+1=811个数

能保证里面的数任意两个数之和不是5的倍数

由抽屉原理进而可得，至少选811+1=812个数

能保证其中有两个数的和是5的倍数。

Answer 3

首先考虑两个数的和是5的倍数的情况，我们可以列出如下的表格：

选取的数的余数
个数

0 5
1 4
2 4
3 4
4 5
其中，选取的数的余数是指该数除以5的余数，个数是指在1到2022中该余数的数的个数。可以发现，无论我们选取多少个数，其中一定有两个数的余数相同，这两个数的和是5的倍数。
因此，我们至少要选取6个数才能保证其中有两个数的和是5的倍数。