Question

求解一道高一数学题（数列）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=1/Sn,且a3·b3=1/2，S3+S5=21
①求数列{bn}的通项公式
②求证b1+b2+...+bn<2

Answer 1

1、Sn=n(a1+an)/2=a1*n+n(n-1)d/2……①（设等差数列{an}的公差为d）
由①和已知bn=1/Sn，得出：bn=2/n*（a1+an),则b3=2/3(a1+a3)=1/2*a3……②
由②和已知条件a3*b3=1/2，得出：a3=3*a1……③。由a3-a1=2d……④，
由③④退出a1=d……⑤，把⑤带入①得出：Sn=n*(n+1)d/2……⑥，则S3=6d，
S5=15d，带入已知S3+S5=21得出：d=1，则Sn=n*(n+1)/2.
所以，bn=2/n*(n+1)=2(1/n-1/n+1).
2、令Bn=b1+b2+……+bn=2[（1-1/2)+(1/2-1/3)+……+（1/n-1/n+1）]
=2（1-1/n+1）
又因，0<1/n+1<1，所以0<1-1/n+1<1,所以Bn=b1+b2+……+bn<2。
由于这里不好排版，所以我没有按格式写，你还要自己按格式写工整就好了。
好好学习！

Answer 2

a(n) = a1 + (n-1)d,
S(n) = na1 + n(n-1)d/2.
b(n) = 1/S(n)
= 1/[na1 + n(n-1)d/2]
= 2/[2na1 + n(n-1)d],

1/2 = a3b3
= [a1+2d]*2/[6a1+6d]
= (a1+2d)/(3a1+3d),
3a1+3d = 2a1 + 4d,
a1=d.
b(n) = 2/[2na1 + n(n-1)d] = 2/[n(n+1)d].
S(n) = na1 + n(n-1)d/2
= nd[2 + n-1]/2
= n(n+1)d/2.

21 = S3+S5
= 3*4d/2 + 5*6d/2
= 6d + 15d
= 21d,
d = 1,
bn = 2/[n(n+1)d]
= 2/[n(n+1)],

b1=2/(1*2)
b2=2/(2*3)
b3=2/(3*4)
.........
bn= 2/[n(n+1)],

b1+b2+...+bn
=2/(1*2)+2/(2*3)+2/(3*4)+......+2/[n(n+1)]
=2{1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+......+1/[n(n+1)]}
=2{1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/n-1/(n+1)}
=2[1-1/(n+1)]
=2-2/(n+1)<2

所以b1+b2+...+bn<2