Question

设f，g∈V[a，b]，证明fg∈V[a，b]．

Answer 1

【答案】：[证明]因为复函数是有界变差的当且仅当其实部与虚部都是有界变差的，故不妨设f，g∈V[a，b]都是实函数．由Jordan分解定理，可设f=f₁-f₂，g=g₁-g₂，其中f₁，f₂，g₁，g₂都是非负递增函数．于是
fg=(f₁g₁+f₂g₂)-(f₁g₂+f₂g₁)．注意到当x₁，x₂∈[a，b]，x₁＜x₂时有0≤f₁(x₁)≤f₁(x₂)，且0≤g₁(x₁)≤g₁(x₂)，于是
0≤f₁(x₁)g₁(x₁)≤f₁(x₂)g₁(x₂)，这表明f₁g₁非负递增．同理f₂g₂，f₁g₂，f₂g₁都是非负递增的．由此得出fg为两个非负递增函数之差，根据Jordan分解定理，fg∈V[a，b]．