Question

证明f(A-f^(-1)(B))=f(A)-B？

Answer 1

首先，假设 A 和 B 分别是函数 f 的定义域和值域上的子集，而 f^(-1)(B) 表示 B 的原像，即所有映射到 B 中元素的 A 中元素的集合。因此，A - f^(-1)(B) 表示从 A 中去掉所有映射到 B 中元素的元素所得到的集合。
接下来，我们证明 f(A - f^(-1)(B)) = f(A) - B 。
对于任意的 y ∈ f(A - f^(-1)(B))，根据函数的定义，存在 x ∈ A - f^(-1)(B)，使得 y = f(x)。也就是说，y 是 A 中映射到 B 之外的元素通过 f 映射得到的值。根据 B 的定义，y 不在 B 中，因此 y ∈ f(A) - B，即 f(A - f^(-1)(B)) ⊆ f(A) - B。
另一方面，对于任意的 y ∈ f(A) - B，根据函数的定义，存在 x ∈ A，使得 y = f(x)，并且 y 不在 B 中。如果 x 属于 f^(-1)(B)，则 y 就应该属于 B，与 y 不在 B 中矛盾。因此，x 必须属于 A - f^(-1)(B)，也就是说，y 是 A - f^(-1)(B) 中元素通过 f 映射得到的值。因此，y ∈ f(A - f^(-1)(B))，即 f(A) - B ⊆ f(A - f^(-1)(B))。
综上所述，f(A - f^(-1)(B)) = f(A) - B 成立。