Question

求极限lim_(x0)(ln(2+sinx)-ln(2+x))/(x^3)

Answer 1

我们可以将被求极限的表达式重新写成如下形式：
ln(2+sinx) - ln(2+x)
= ln[(2+sinx)/(2+x)]
然后，我们可以将被求极限的表达式改写为如下形式：
ln[(2+sinx)/(2+x)] / x^3 * (x - x0)
其中，x ≠ x0，因为在x=x0时，被除数变成了0/0的不定形式。
现在，我们对于这个表达式应用洛必达法则，得到：
lim_(x→x0) ln[(2+sinx)/(2+x)] / x^3 * (x - x0)
= lim_(x→x0) [1 / (x^3 * (2+sinx)/(2+x))] * [(2cosx + 1)/(2+x)] * (x - x0)
= [(2cosx0 + 1)/(2+x0)] * lim_(x→x0) [1 / (x^2 * (2+sinx)/(2+x))]
= [(2cosx0 + 1)/(2+x0)] * lim_(x→x0) [(2+x)/(x^2 * (2+sinx))]
= [(2cosx0 + 1)/(2+x0)] * lim_(x→x0) [(1/x) / (2+sinx/x^2)]
= [(2cosx0 + 1)/(2+x0)] * 0
因为在x=x0时，分母为2+sin(x0/x^2)≈2，分子为1/x→0，所以极限为0。因此，原始的极限也等于0。
因此，极限lim_(x0)(ln(2+sinx)-ln(2+x))/(x^3)=0。