Question

为什么要研究循环群

Answer 1

循环群是只有一个元素生成的群，它的结构平凡而简单。

第一个定理说明，每个阶数（无论无限还是有限）的循环群只有一种。

证明很容易，其实就是说无限阶时与n是一样的，有限阶时与modn的剩余类群中的m是一样的。

这个定理有点像拉格朗日定理的逆定理。已知子群，可以确定它的阶是大群的阶的因子，但是已知一个因子，它有没有一个对应的子群呢？这个定理告诉我们，在循环群里，它是肯定的。

肯定是单位元了，但是当存在这样一个a，使得|G|恰好是把a单位化的最小数，Abel群G就成为了循环群。A单位化的最小正整数，我们一般称之为阶，它在数论中用途颇多。

这个定理我们将来还会用到，它是判定循环群的一大利器。

接下来我们研究循环群的自同构群。研究的方法虽然简单，但却抓住了本质。循环群最重要的是什么？就是它的生成元。生成元在自同构下会怎么样？肯定还是生成元！而自同构一定把生成元映射成生成元吗？那也是肯定啊，要不然生成元无处可去。

有限阶群比无限阶群要复杂，我们要从他们的生成元起步。

接下来的表示不超过n且与n互素的正整数组成集合，其上的乘法按照modn 定义，容易得到它是一个群。

Answer 2

循环群是一种抽象的数学结构，它具有很多重要的性质和应用。在数学领域中，研究循环群可以帮助我们更深入地理解抽象代数学的基本原理和结构。此外，在物理学、化学、工程学等应用领域中，循环群也有着广泛的应用，例如在对称性、周期性和旋转对称性等方面的研究中。因此，研究循环群对于推动数学和其他科学领域的发展具有重要意义。