Question

为什么循环群一定是交换群？

Answer 1

原因是由自身的集合G和二元运算构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G有单位元、所有G的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被彻底地研究了。无限阿贝尔群理论则是正在研究的领域。某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。

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一般地说乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时，加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。这是成立的因为如果它是于阿贝尔群，则gi⋅gj = gj⋅gi。这蕴含了第（i, j)个表项等于第（j, i)个表项，就是说这个表示关于主对角线对称的。

验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格（矩阵），它称为凯莱表。如果群G = {g1 = e, g2, ..., gn}在运算下，则这个表的第（i, j)个表项包含乘积gi⋅gj。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的（就是说这个矩阵是对称矩阵）。