Question

向量组的极大线性无关组是什么？

Answer 1

极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。其定义为：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。

基本性质：

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；
（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

扩展资料：

相关定理：

极大线性无关组定理 1：

设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果

（1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出。
（2）r>s；
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。

极大线性无关组定理 2：

一向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。

极大线性无关组定理 3：

一向量组线性无关的充分必要条件是，它的秩与它所含向量的个数相同。

极大线性无关组推论 1：

如果向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，且a1,a2,…,ar线性无关，那么r≤s。

极大线性无关组推论 2：

任意n+1个n维向量必线性相关。

极大线性无关组推论 3：

两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量。

极大线性无关组推论 4：

等价的向量组必有相同的秩。