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数列前n项和的表达式为：
S = (n+2)/2! + (n+3)/3! + (n+4)/4! + ... + (n+k)/(k!) + ...
我们可以将表达式写成如下形式：
S = [1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/k! + ...] (n+2) + [1/3! + 1/4! + ... + 1/k! + ...] (n+1) + [1/4! + ... + 1/k! + ...] (n+2)!
利用无穷等比数列求和公式，我们可以得到每个括号内的无穷级数的值，分别为：
1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/k! + ... = e - 1 - 1/2
将该值代入S的表达式中，得到：
S = [(n+2)(e - 1 - 1/2)] + [(n+1)(e - 1 - 1/2)] + [(n+2)!/(4!)]
将表达式进行简化，得到：
S = (n^2 + 5n + 8 + 2n(n+3)e - 3e - 2)/4!
S = (n+2)/2! + (n+3)/3! + (n+4)/4! + ... + (n+k)/(k!) + ...
我们可以将表达式写成如下形式：
S = [1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/k! + ...] (n+2) + [1/3! + 1/4! + ... + 1/k! + ...] (n+1) + [1/4! + ... + 1/k! + ...] (n+2)!
利用无穷等比数列求和公式，我们可以得到每个括号内的无穷级数的值，分别为：
1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/k! + ... = e - 1 - 1/2
将该值代入S的表达式中，得到：
S = [(n+2)(e - 1 - 1/2)] + [(n+1)(e - 1 - 1/2)] + [(n+2)!/(4!)]
将表达式进行简化，得到：
S = (n^2 + 5n + 8 + 2n(n+3)e - 3e - 2)/4!
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