Question

什么是均值不等式？

Answer 1

均值不等式是数学中常用的一类不等式，主要用于刻画均值之间的关系。以下是六个常见的基本均值不等式：
1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：
对于非负实数 a1, a2, …, an，AM-GM不等式表明它们的算术均值不小于几何均值，即
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ √(a1 * a2 * … * an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
2.平方均值-算术均值不等式（QM-AM不等式）：
对于非负实数 a1, a2, …, an，QM-AM不等式表明它们的平方均值不小于算术均值，即
√((a1^2 + a2^2 + … + an^2) / n) ≥ (a1 + a2 + … + an) / n。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
3.平方均值-几何均值不等式（QM-GM不等式）：
对于非负实数 a1, a2, …, an，QM-GM不等式表明它们的平方均值不小于几何均值，即
√((a1^2 + a2^2 + … + an^2) / n) ≥ √(a1 * a2 * … * an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
4.倒数均值不等式（HM-AM不等式）：
对于正实数 a1, a2, …, an，HM-AM不等式表明它们的倒数均值不小于算术均值的倒数，即
n / (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an) / n。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
5.倒数均值-几何均值不等式（HM-GM不等式）：
对于正实数 a1, a2, …, an，HM-GM不等式表明它们的倒数均值不小于几何均值的倒数，即
n / (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≥ √(a1 * a2 * … * an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
6.平方均值-谐均值不等式（QM-HM不等式）：
对于非负实数 a1, a2, …, an，QM-HM不等式表明它们的平方均值不小于谐均值，即
√((a1^2 + a2^2 + … + an^2) / n) ≥ n / (1/a1 + 1/a2 + … + 1/an)。
当且仅当 a1 = a2 = … = an 时等号成立。
这些基本的均值不等式在数学及其应用领域中有广泛的应用，可以用于证明不等式、优化问题的求解以及构造各种数学不等式等