Question

一元二次方程高难题求解

求所有有理数r，使得方程rx^2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．
思路明晰，解法技巧好，有高分追加

Answer 1

分析 首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解 当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
x1+x2=-1-1/r
x1x2=1-1/r

当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得:
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
即x1-3=3,x2-1=1
或x1-3=1,x2-1=3
得到：x1=4,x2=2或，x1=0,x2=-1
所以，r=1/(1+x1x2)=-1/7,或r=1
综上所述，当r=-1/7,0,1时，方程的所有根都是整数。

Answer 2

解：当r≠0时，设rx^2+(r+1)x+(r-1)=0的根为x1、x2
依韦达定理，有：x1+x2=-(r+1)/r。
因为x1、x2为整数，所以：x1+x2也为整数。
即：-(r+1)/r=-1-1/r为整数，只能有：r=1、r=-1
同理，依韦达定理，有：x1x2=(r-1)/r=1-1/r
求得：r=1、r=-1
将r=1代入原方程，有：
x^2+2x=0
解得：x1=0，x2=-2
将r=-1代入原方程，有：
x^2+2x+2=0
x=[-2±√(4-8)]/2
=[-2±√(-4)]/2
不合题意，舍去。
当r=0时，原方程为：x-1=0，解得x=1，为整数，符合题意。
所以，只有当r=0和r=1时，原方程有整数根。
当r=0时，方程的根为：x=1；
当r=1时，方程的根为：x1=0、x2=-2

Answer 3

1）r=0时,x=1,符合题意
2）r≠0时，原方程化为x^2+(1+1/r)*x+(1-1/r)=0
△=b^2-4ac=1/r^2+6/r-3=(1/r+3)^-12≥0时方程有解
1/r≥2√3 - 3＞0或1/r≤-2√3 - 3＜-6
设方程整数根为a,b 则(x-a)*(x-b)=0→x^2+(-a-b)*x+a*b=0
有-(a+b)=1+1/r,a*b=1-1/r只有1/r取整数时才符合题意
两式相减:（a+1)*(b+1)=1-2/r因（1-2/r）为奇数，所以a、b都只能为偶数或0
两式相加:（a-1)*(b-1)=3，
因(a-1),(b-1)都是奇数，取值范围只有-3，-1，1，3
符合题意的组合式-3*（-1）和1*3
a-1=-3,b-1=-1则a=-2,b=0此时r=1
a-1=3,b-1=1则a=4,b=2,此时r=-1/7
1/r=1和1/r=-7符合方程有实根的取值范围
综上所述r取0,1,-1/7时方程所有跟是整数

Answer 4

若r=0，方程变为x-1=0，显然所有根是整数。
若r≠0，设方程的两个根为x1、x2，根据韦达定理：
x1+x2=-(r+1)/r
x1x2=(r-1)/r
两式相减，得：
x1+x2-x1x2=-2
变形为(x1-1)(x2-1)=3
x1-1=1，x2-1=3
或x1-1=3，x2-1=1
或x1-1=-1，x2-1=-3
或x1-1=-3，x2-1=-1
求出：x1=2，x2=4
或x1=4，x2=2
或x1=0，x2=-2
或x1=-2，x2=0
利用x1x2=(r-1)/r，即r=1/(1-x1x2)，分别代入求出：
r=-1/7，1
综上，满足要求的r为：-1/7，0，1