Question

求解一道初中奥数题

将1000个数1、3、5、7、……1999任意分成两组，每组500个，将一组数按由小到大顺序排列，设为a1<a2<…<a500，另一组数按由大到小顺序排列，设为b1>b2>…b500,则代数式|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|的最小值为好多？
求详细的解题过程，谢谢

Answer 1

3楼的解释貌似太难懂了,至少我没看懂.任意两个|An-Am|=2*|n-m|,(n,m的范围均为1~1000)如何推导出|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|=[2*(1+3+…999)*500]/2的?况且这个式子的结果也不等于500000.还盼解释一下.4楼也没有对为什么无论怎样分得数都是500000进行严格解释。

LZ可以画个图,我们把2组数视为2根折线,因为2组数分别是递增和递减的,假如2组数在图上没有相交,也就是一组数的最小数比另一组数的最大数都要大,那么必定一组是1~999,另一组是1001~1999;假如2组数在图上相交,也就是任何一组数的最大数都比另一组的最小数要大,则我们在其交点取一横线(因为2组数中任何2个数都不相等,所以实际上是没有交点的,我们只是取相隔最近的一组视为交点,而横线就取在最近的2个点的中间),则无论在在这个交点之前还是之后,若某个数在横线之上(下),则必定其对应的数在横线之下(上).也就是说,在横线之上的数和在横线之下的数是一样多的,从而确定横线下的数是1~999,横线上的数是1001~1999,即横线在数字1000的地方,横线也就是1~1999的平均线.
由图可以看出,|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|的值,实际上就是每个数与平均线1000的差的绝对值之和.并且由上面的分析可以看出,无论2组数如何选,这个|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|的值是固定的.

得数是(2+1998)*500/2=500000 .

LZ可以用几个数，比如1，3，5，7，9，11来验证一下，无论你如何分，其|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|的值总是18。

Answer 2

youkonghuilai

Answer 3

an≠bn
|an-bn|>0
所以，若|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|最小
|an-bn|必须最小，且|an-bn|=|a(n-1)-b(n-1)|，|an-bn|的最小值为2
|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|=2*500=1000

Answer 4

2楼忽略了：a1<a2<…<a500，b1>b2>…b500。

假设A1=1，A2=3，A3=5，……A1000=1999，那么，任意两个|An-Am|=2*|n-m|,(n,m的范围均为1~1000)
即：|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a500-b500|=[2*(1+3+…999)*500]/2=500000
而且，无论数字怎么取，都是50万

Answer 5

遇到这种题 结合函数图像比较简单 （当然了，是比较粗略的函数图像) 一条代表的是A组 是增函数 另一条代表的是B组 是减函数 求和 就是求 两个函数的 纵坐标之差 由微积分的观点 (2+1998)*500/2=500000