Question

一道巨难初中奥数题

4.6已知a、b、c、p、q为正整数，p、q分别是a、b被c除所得的余数。若a>b,且a+b=2(p+q),则a+b+c一定含有因数（ ）
A．2 B.3 C.5 D无法确定

Answer 1

选B.
由题意，可设非负整数m,n满足 a=mc+p, b=nc+q. 因此 a+b=(m+n)c+(p+q).
又因为 a+b=2(p+q),所以 (m+n)c=p+q.
注意到p,q是a,b被c除得到的余数，所以 p<c,q<c, 因此必有 p+q<2c. 但由上述，p+q=(m+n)c, 所以 m+n=1 或者 m+n=0.
若m+n=0,则由m,n均为非负整数可知m=n=0.又由a+b=(m+n)c+(p+q)可知 a+b=p+q，但已知为a+b=2(p+q),从而只能有p+q=0,p=q=0,这与p,q为正整数矛盾；
若m+n=1, 由a>b可知必有 m=1,n=0. 此时p+q=c. 以及 a=mc+p=c+p, b=nc+q=q.
从而a+b+c
=(c+p)+q+c
=2c+(p+q) (再利用p+q=c)
=3c
从而a+b+c一定能被3整除。

Answer 2

b