Question

基本不等式题目解答

1.已知x是正实数，则当x为何值时，x^2 + 4/x 有最小值，最小值为多少？答案为x等于2的3次方根，最小值为3倍4的3方根。
2.若0<x< 1/3,则当x等于何值时，y=x^2 (1-3x)有最大值，最大值为多少？答案为2/9，和4/243
3.a、b都是正数，且2a+b=1,设T=2倍根号ab-4a^2-b^2,则a=_________b=________时，T有最大值______答案1/4，1/2，2分之根号2减1

请写清过程
只写知道的也行
解答清晰正确被采纳再追加50分
谢谢！！

Answer 1

解：

基本原理：算术平均值>= 几何平均值

1. 拆项： x^2 +4/x = x^2 +2/x +2/x >= 3*3次根号下(x^2 *2/x *2/x) = 3*3次根号下4
取等条件：x^2 = 2/x，即 x=3次根号下2

2. 还是拆项：y = x^2 (1-3x) = (4/9)(3x/2)(3x/2)(1-3x) <= (4/9)*[(1/3)(3x/2+ 3x/2+ 1-3x)]^3 = 4/243
取等条件：3x/2 = 1-3x，即x=2/9

3. 1的巧用：T = 2*根号下ab -4a^2 -b^2 = 2*根号下ab -(2a+b)^2 +4ab = 4ab+ 2*根号下ab -1 = (2*根号下ab + 1/2)^2 -5/4 --- @
因为1 = 2a+b >= 2*根号下(2ab)，所以ab <= 1/8，根号下ab <= (1/4)*根号2
于是 T = @式 <= [2*(1/4)*根号2 + 1/2]^2 -5/4 = (1/2)(根号2 -1)
取等条件：2a=b，联立2a+b=1即得：a=1/4，b=1/2

哈哈，分是我的~
^_^

Answer 2

我只写过程,结果不写了,你自己都知道.
1.原式等于x^2 + 2/x+2/x,然后可以用基本不等式法,因为这3个式子的乘积是常数
2.第2个写成2x*x*(1-3x)*1/2,然后同样用基本不等式,因为2x,x,1-3x的和是常数.
3.根号下是-(2a+b)^2+5ab=5ab-1,所以只要5ab-1取最大值,T就是最大值.b=1-2a,代入5ab-1这个式子里整理,只需求出5a-10a^2-1这个2次函数在(0,1/2)这个区间上的最大值就可以了.
1/2是因为b=1-2a,b>0,所以a<1/2
我只写了个过程,如果有什么不懂的再发消息给我吧

Answer 3

x^2 + 4/x=x^2+2/x+2/x≥3倍4的3次方根,当且仅当x^2=2/x=2/x,即x^3=2
x=2的3次方根时取最小值.

0<x< 1/3,
y=x^2 (1-3x)=4/9*(3x/2)(3x/2)(1-3x)
≤4/9*{[(3x/2)+(3x/2)+(1-3x)]/3}^3
=4/9*1/27=4/243
当且仅当3x/2=3x/2=1-3x
也就是x=2/9时取等号
若0<x< 1/3,则当x等于2/9时，y=x^2 (1-3x)有最大值，最大值4/243

a、b都是正数，且2a+b=1,
b=1-2a
T=2√（ab-4a^2-b^2）=2√[a(1-2a)-4a^2-(1-2a)^2]
=2√(-10a^2+5a-1)=2√[-10(a-1/4)^2-3/8]
感觉到了这里就有问题了，所以还请你把这个 题目的问题讲清楚，是根号里面还是就根号（ab）

Answer 4

1,x^2 + 4/x=x^2+2/x+2/x>=3倍4的3次方根,当且仅当x^2=2/x=2/x,即x^3=2
x=2的3次方根时取最小值.

2,

Answer 5

基本原理：算术平均值>= 几何平均值

1. 拆项： x^2 +4/x = x^2 +2/x +2/x >= 3*3次根号下(x^2 *2/x *2/x) = 3*3次根号下4
取等条件：x^2 = 2/x，即 x=3次根号下2

2. 还是拆项：y = x^2 (1-3x) = (4/9)(3x/2)(3x/2)(1-3x) <= (4/9)*[(1/3)(3x/2+ 3x/2+ 1-3x)]^3 = 4/243
取等条件：3x/2 = 1-3x，即x=2/9

3. 1的巧用：T = 2*根号下ab -4a^2 -b^2 = 2*根号下ab -(2a+b)^2 +4ab = 4ab+ 2*根号下ab -1 = (2*根号下ab + 1/2)^2 -5/4 --- @
因为1 = 2a+b >= 2*根号下(2ab)，所以ab <= 1/8，根号下ab <= (1/4)*根号2
于是 T = @式 <= [2*(1/4)*根号2 + 1/2]^2 -5/4 = (1/2)(根号2 -1)
取等条件：2a=b，联立2a+b=1即得：a=1/4，b=1/2

Answer 6

太难写了