Question

如图在△ABC中AB=AC,点D在CB延长线上,求证:AD²-AB²=BD×CD

这是8年级数学优质课堂中勾股定理（1）16题，我搞不懂怎么做，求大家帮帮忙

Answer 1

过A点，做BC的垂线，垂足为E点。那么：（以下没有打括号的线段均有平方,打括号的没有平方，为了方便好写）

AD-AE=DE....1
AB-AE=BE=CE....2
2式-1式 有
AB-AD=CE-DE
(DE)=(CD-CE)带入有
AB-AD=(2CD*CE)-CD=(CD*BC)-CD=(CD*(BC-CD))=(CD*BD)
即AB的平方—AD的平方=BD乘以CD

Answer 2

证明：从A做BC垂线，交BC于E
因为AB=AC，△ABC是等腰三角形，所以BE=CE
在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²
在RT△ABE中，AB²=AE²+BE²
所以AD²-AB²=AE²+DE²-（AE²+BE²）=DE²-BE²=（DE-BE）（DE+BE）
因为BE=CE，所以AD²-AB²=（DE-BE）（DE+CE）=BD×CD

Answer 3

很简单，过A点，做BC的垂线，垂足为E点。那么：（以下没有打括号的线段均有平方,打括号的没有平方，为了方便好写）

AD-AE=DE....1
AB-AE=BE=CE....2
2式-1式 有
AB-AD=CE-DE
(DE)=(CD-CE)带入有
AB-AD=(2CD*CE)-CD=(CD*BC)-CD=(CD*(BC-CD))=(CD*BD)
即AB的平方—AD的平方=BD乘以CD。