Question

高中数学导数

已知函数f(x)=lnx-a^2x^2+ax(aR) （1.）求当a=1时,证明函数f(x)只有一个零点
（2.）若函数f（x)在(1,正无穷）上是减函数，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=lnx-a^2·x^2+a(a属于R)
当a=1时,f(x)=lnx-x^2+x
则f’(x)=1/x-2x+1
当取最值时，f’(x)=0
即f’(x)=1/x-2x+1=0
解得（x-1)(2x+1)=0
解得x=-1/2（不合题意，舍去）,x=1
当x=1时，f''(x)=-1/x^2-2<0
所以，x=1时，取得最大值为0-1+1=0

(2)在(1)的条件下,讨论函数f(x)是否存在零点.若有,求出函数的零点;若没有,请说明理由
当a=1时，显然x=1时，为零点

函数f(x)在区间(1,正无穷)上是减函数,
则，f’(x)=1/x-2a^2x+a<=0
因为x>0，所以2a^2x^2-ax-1>=0，在(1,正无穷)
则必须有开口向上，
且当x=1时，2a^2x^2-ax-1>=0
所以2a^2-a-1>=0
则a>=1，或者a<=-1/2