Question

如何证明三角形两边之和大于第三边

如何证明三角形两边之和大于第三边

Answer 1

证明：
假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c，且a、b、c大小任意；
①先证明：a+b＞c；
因为a、b、c都为正数，所以要使得a+b＞c成立，只需证明（a+b）²＞c²，即：
（a+b）²-c²＞0；
根据余弦定理：cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（（a+b）²-c²-2ab）/2ab；
移项得：（a+b）²-c²=2ab（2+cosB）；
对于等式的右边：cosB在角B取值范围内的值为（-1,1）；
所以1＜（2+cosB）＜2；
又因为a、b都是正数；
所以2ab（2+cosB）＞0，即（a+b）²-c²＞0，即a+b＞c；
②对于a+c＞b和b+c＞a的情况证明是类似的；

综上所述，证得：三角形的任意两边之和大于第三边。

证毕。
谢谢！

Answer 2

可以用反证法证明
设任意三角形的三边分别为：a,b,c,（自然：a大于0，b大于0，c大于0）
根据反证法，我们这样假设：三角形的任意两边之和都小于或者等于第三边。
所以：a+b小于或等于 c（1）
a+c小于或等于 b（2）
b+c小于或等于 a（3）
将（1）（2）（3）相加可以得出：2（a+b+c）小于或等于（a+b+c），即：（a+b+c）小于或等于0，
这个结论错误，
故：假设不成立，即：三角形任意两边之和大于第三边。

Answer 3

1、设三角形的三边长分别为a,b,c,由两点之间直线最短，可得a+b>c，根据不等式定理——不等式两边同时加或减同一个数，不等式方向不变，可得，a>c-b和b>c-a，同理，可证明其它。
即三角形中两边之差小于第三边。
2、延伸：
证明三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
证明：设三角形ABC的三个顶角A、B、C所对的边为a、b、c，
则固定a、b的长度，并固定边a不动，边b围绕C点转动，
那么在边b转动过程中，点A与点B之间的距离，即边c的长度就在变化；
易知，在边b转动的过程中，
A、B两点的最短距离是，A、B、C共线，且∠ACB=0°，则c(min)=|a-b|；
A、B两点的最长距离是，A、B、C共线，且∠ACB=180°，则c(max)=a+b。
然而要想三点A、B、C能连成一个三角形，这三点是不能共线的，
即只有边c在它的两个极值之间变化才能构成一个三角形，
即边c必须满足|a-b|＜c＜a+b，即常说的：
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

注：min是最小值，max是最大值的意思！

Answer 4

画图.
当2边之和极其接近第三边时,此时三角形顶角就极其接近180度,当相等时,顶角可以认为是180度,显然不可能,故三角形两边之和大于第三边.深入证明要用极限处理

Answer 5

过顶点做另一边的垂线，则形成两个直角三角形斜边比直角边长，所以两边之和大于两直角边之和，故三角形两边之和大于第三边。